题目

已知函数 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）记函数 的最大值为 .若正实数 ， ， 满足 ，求 的最小值. 答案：解：（Ⅰ）不等式 f(x)<x 即 |x−1|−|x+2|<x . ①当 x≥1 时，化简得 −3<x .解得 x≥1 ； ②当 −2<x<1 时，化简得 −2x−1<x .解得 −13<x<1 ； ③当 x≤−2 时，化简得 3<x .此时无解. 综上，所求不等式的解集为 {x|x>−13} . （Ⅱ）∵ |x−1|−|x+2|≤|(x−1)−(x+2)|=3 ，当且仅当 x≤−2 时等号成立. ∴ M=3 ，即 a+4b+9c=1 . ∵ 1−9cab+a−3cac=a+4bab+1c−3a=1a+1b+1c ， 又 a,b,c>0 ， ∴ 1a+1b+1c=(1a+1b+1c)(a+4b+9c) ≥(1a⋅a+1b⋅4b+1c⋅9c)2 =(1+2+3)2=36 . 当且仅当 1aa=1b4b=1c9c ,即 a=16 ， b=112 ， c=118 时取等号， ∴ 1−9cab+a−3cac 的最小值为36.

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