题目

已知函数（e为自然对数的底数）． （1） 当时，求函数的单调区间； （2） 若函数有且仅有两个零点，求实数m的取值范围． 答案： 解：m=1，f(x)=ex−1−ln(x+e)−e，x+e>0，解得：x>−e，定义域为(−e，+∞)， f(x)=ex−1−1x+e且单调递增， 令：f'(x)=0，x=0 ∴当−e<x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x>0时，f(x)>0，f(x)单调递增， 所以当m=1时，函数f(x)单调增区间为(0，+∞)；单调减区间为(−e，0). 解：g(x)=ex+e−(m+e)−ln(x+e)−(m+e)，定义域为(−e，+∞)， 设x+e=t，m+e=n ∴g(x)=h(t)=et−n−lnt−n h'(t)=et−n−1t 易知：t>0，h'(t)∈(−∞，+∞)且单调递增， ∴存在t0>0，使h(t0)=0，即et0−n=1t0，且h(t)=et−n−1t在(0，t0)上小于0，在(t0，+∞)上大于0，故h(t)≥h(t0)=1t0+t0−2n，因为当t→0时，h(t)→+∞，当t→+∞时，h(t)→+∞，要想函数g(x)=f(x)−m有且仅有两个零点，则只需1t0+t0−2n<0，因为et0−n=1t0，所以n=t0+lnt0，所以h(t0)=1t0−2lnt0−t0， 令φ(t)=1t−2lnt−t φ'(t)=−1t2−2t−1<0，故φ(t)=1t−2lnt−t单调递减，且φ(1)=0， 要想φ(t0)<0，则要满足t0>1，由n=t0+lnt0单调递增，可知n>1，所以m+e>1，∴m>1−e，实数m的取值范围是(1−e，+∞).

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