题目

如图，在宽为 的路边安装路灯，灯柱 高为 ，灯杆 是半径为 的圆 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶 到路面的距离为 ，到灯柱所在直线的距离为 ．设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段 上． （1） 当r为何值时，点Q恰好在路面中线上? （2） 记圆心 在路面上的射影为 ，且 在线段 上，求 的最大值． 答案： 解：以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0）， ∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则 {(a−2)2+(b−10)2=r2a2+(b−8)2=r2 ， 两式相减得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6， ∴ r=42+(6−8)2=25 ．∴当 r=25 时，点Q恰好在路面中线上． 解：由（1）知a+b﹣10＝0， 当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0． 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝ −aa−2 （x﹣2）， 令y＝0可得x＝12﹣ 20a ，即Q（12﹣ 20a ，0）， ∵H在线段OQ上，∴12﹣ 20a ≥a，解得2≤a≤10． ∴|HQ|＝12﹣ 20a ﹣a＝12﹣（ 20a +a）≤12﹣ 220 ＝12﹣ 45 ， 当且仅当 20a ＝a即a＝ 25 时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣ 45 ）m．

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