题目

已知 ； （1） 判断函数 的奇偶性，并加以证明； （2） 已知函数 ，当 时，不等式 有解，求k的取值范围. 答案： 解：由题意知 1+x1−x>0 ， ∴−1<x<1 .   ∴ 函数 f(x) 的定义域为： (−1,1) . 函数 f(x) 是定义域内的奇函数，证明如下 ∵ 函数定义域为 (−1,1) ，关于原点对称， 对任意 x∈(−1,1) ，有 f(−x)=log31−x1+x=log3(1+x1−x)−1=−log31+x1−x=−f(x) ， ∴ 函数 f(x) 是定义域内的奇函数. 解： g(x)=log31+xk=2log31+xk ， 又 −1<x<1 ， ∴k>0 ， 由 f(x)≥g(x) 得 log31+x1−x≥log3(1+x)2k2 ，即 1+x1−x≥(1+x)2k2 ， ∴k2≥1−x2 ， x∈[13,12] 时， 1−x2 最小值为 34 ， ∴k2≥34 ，又 k>0 ， ∴k≥32 ，即k的取值范围是 [32,+∞) .

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