题目

如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一个交点为 . （1） 求抛物线的解析式； （2） 点 是直线 上方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，当 面积最大时，求出点 的坐标； （3） 在（2）的结论下，连接AF，点 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 ， ， ，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由. （备用图） 答案： 解：令 y=−34x+3=0 ， 则 x=4 ，即点 C(4,0) ， 当x=0时，y=3 则点 B(0,3) ， 抛物线过B、C两点 {c=316a+3+c=0 ， 解得 {c=3a=−38 故抛物线的表达式为： y=−38x2+34x+3 ； 解：设点 E(x,−38x2+34x+3) ， 则点 F(x,−34x+3) ， SΔBCE=12EF×OC=2(−38x2+34x+3+34x−3)=−34x2+3x ， ∵ −34<0 ，故 SΔBCE 有最大值， x=−b2a=−32×(−34)=2 此时 x=2 ，y= −34x+3=−34×2+3=32 故点 F(2,32) ； 解：设点 P(m,n) ，点 Q(1,s) ， ①当 AF 是平行四边形的一条边时， 当点 P 在对称轴的右侧时， 点 F 向左平移4个单位向下平移 32 个单位得到 A ， 同理 P(m,n) 向左平移4个单位向下平移 32 个单位得到 Q(1,s) ， 即 m−4=1 ，解得： m=5 ，故点 P(5,−218) ； 当点 P 在对称轴的左侧时， 同理可得点 P(−3,−218) ； ②当 AF 是平行四边形的对角线时， AF 的中点坐标为 (0,34) ，此坐标即为 PQ 的中点坐标， 即 m+1=0 ， 解得： m=−1 ， 故点 P(−1,158) ； 综上，点 P(5,−218) 或 (−3,−218) 或 (−1,158) .

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