题目

在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1） 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2） 若直线 与 轴、 轴的交点分别为 ， 两点， 为曲线 上的任意一点，求 的面积的最小值． 答案： 解：由直线 l 的参数方程为 {x=t2+6，y=−t3−2 消去参数 t ，得 直线 l 的普通方程 2x+3y−6=0 ； 由 ρ2=41+3sin2θ 得 ρ2+3ρ2sin2θ=4 ，则 x2+4y2=4 ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x24+y2=1 ． 解：由（1）可知 A(3，0) ， B(0，2) ，设 P(2cosθ，sinθ) ， 则点 P 到直线 2x+3y−6=0 的距离为 d=|4cosθ+3sinθ−6|13=6−5sin(θ+φ)13 ，其中 tanφ=43 ， 当 sin(θ+φ)=1 时， dmin=113 ， 又 |AB|=32+22=13 ， 所以 △ABP 的面积的最小值为 (S△ABP)min=12|AB|⋅dmin=12 ．

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