题目

中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆 相切． （1） 求双曲线的离心率； （2） 是渐近线上一点， 是双曲线的左，右焦点，若 ，求双曲线的方程． 答案： 解：设经过第一、三象限的渐近线的方程为 y=kx ，则 5kk2+1=4 ，解得 k=43 ，若双曲线焦点在x轴上，则 ba=43,e=53 ；若双曲线焦点在y轴上，则 ab=43,e=54 ，故所求双曲线的离心率为 e=53 或 e=54 解：由题意设 F1(−c,0),F2(c,0) ，由 PF1⊥PF2 得 PF1→⋅PF2→=0 ．∴(3+c)(3−c)+16=0 ，即 c=5 ，由（1）知 ba=43 ，又 a2+b2=c2=25 ，所以 a=3,b=4 ，所以双曲线的方程为 x29−y216=1

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