题目

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点E与点M在AC所在直线的两侧，AE⊥AB，AE＝BC，点N在AC边上，CN＝AM，连接ME，BN． （1） 补全图形； （2） 求ME：BN的值； （3） 问：点M在何处时BM+BN取得最小值？确定此时点M的位置，并求此时BM+BN的最小值． 答案： 解：补全图形见图1 解：如图2，延长AM交BC于点D， ∵AB＝AC，AM平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD，AD⊥BC， ∵AE⊥AB， ∴∠MAE+∠BAD＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠C+∠CAD＝90°， ∴∠MAE＝∠C， 在△AME和△CNB中， {AM=CN∠MAE=∠CAE=BC ， ∴△AME≌△CNB（SAS）， ∴ME＝BN， ∴ME：BN＝1 解：∵ME＝BN， ∴BM+BN＝BM+ME， ∴当点M在∠BAC的平分线上运动到它与BE的交点处时，BM+BN取得最小值， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴AE＝BC＝6， ∴BE＝ AE2+AB2 ＝ 62+52 ＝ 61 ， ∴BM+BN的最小值为 61 ．

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