题目

设椭圆 1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A，已知 ，其中O为原点，e为椭圆的离心率． （1） 求椭圆的方程； （2） 设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率． 答案： 解：由 1|OF|+1|OA|=3e|FA| ，得 1a2−3 + 1a = 3a2−3aa−a2−3 ，即 a+a2−3a×a2−3 = 3a2−3a×(a−a2−3) ，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为 x24+y23=1 ； 解：由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA=∠MAO，∴x0=1，再设H（0，yH），联立 {y=k(x−2)x24+y23=1 ，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得 2x1=16k2−123+4k2 ，∴ x1=8k2−63+4k2 ， y1=k(x1−2)=−12k3+4k2 ，MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣ 1k （x﹣x0），令x=0，得yH=（k+ 1k ）x0﹣2k，∵BF⊥HF，∴ BF→×HF→=(1−x1,−y1)(1,−yH)=0 ，即1﹣x1+y1yH=1﹣ 8k2−63+4k2−12k3+4k2  [（k+ 1k ）x0﹣2k]=0，整理得： x0=9+20k212(k2+1) =1，即8k2=3．∴k=﹣ 64 或k= 64

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