题目

离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为－q（q>0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。 （1） ①求磁感应强度B的大小；②若速度大小为v0的离子能打在Q板的A处，求转筒P角速度ω的大小； （2） 较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小； （3） 若转筒P的角速度小于 ，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。 答案：  解：进入转筒内的离子在磁场中做匀速圆周运动，由题意知速度大小为 v0 的离子在磁场中的轨迹为 14 圆周，可得离子的运动半径等于 R ，由洛伦兹力提供向心力得： qv0B=mv02R 解得： B=mv0qR ； 离子在磁场中运动的时间为： t=14⋅2πRv0=πR2v0 要使速度大小为 v0 的离子能打在 Q 板的 A 处，转筒在此时间内转过的角度需满足： ωt=2kπ+π2 联立解得： ω=(4k+1)v0R，(k=0，1，2……) ； 设打在板 Q 的 C 处的离子在磁场中的运动半径为 r ，其速度大小为 v ，运动轨迹如图所示，由几何关系可得： rR=tanθ2 由洛伦兹力提供向心力得： qvB=mv2r 解得： v=v0tanθ2 ； 此离子在磁场在运动轨迹的圆心角为 π−θ ，可得此离子在磁场中运动的时间为： t1=(π−θ)rv=(π−θ)Rv0 设转筒 P 角速度的大小为 ω1 ，要使此离子能打在 Q 板的 C 处，转筒在此时间内转过的角度需满足： ω1t1=2nπ+θ 联立解得： ω1=(2nπ+θ)v0(π−θ)R，(n=0，1，2……) 设转筒 P 转一周的时间内，打在 C 处的离子受到平均冲力的大小为 F′ ，由动量定理得： F′⋅2πω1=Nmv 由牛顿第三定律可得， C 处受到平均冲力的大小 F=F′ 联立解得： F=(2nπ+θ)Nmv22π(π−θ)Rtanθ2，(n=0，1，2……)  由题意并结合（1）（2）的结论，可知转筒P转动的角速度既要等于 (4k+1)v0R ，又要等于 (2nπ+θ′)v0(π−θ′)R ， 则可得： (4k+1)v0R=(2nπ+θ′)v0(π−θ′)R<6v0R，(k=0，1，2……)，(n=0，1，2……) ， 还需满足： 0<θ′<π ，且 θ′≠π2 可得： k<2 当 k=0 时，解得： θ′=1−2n2π ，当 n=0 时， θ′=π2 ，不符题意，舍去； 当 k=1 时，解得： θ′=5−2n6π ，当 n=0 时， θ′=5π6；n=1 时， θ′=π2 (舍去) ；n=2 时， θ′=π6 。 故板 Q 上能探测到离子的其它 θ′ 的值为 5π6 和 π6 。

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