题目

在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （1） 求 的值； （2） 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若 ，  ▲  ， 求 的周长． 答案： 因为 (3b−csinA)sinC=c(1−cosAcosC) ，利用正弦定理边化角可得： (3sinB−sinCsinA)sinC=sinC(1−cosAcosC) ， 因为 C∈(0，π) ，所以 sinC≠0 ， 所以 3sinB−sinCsinA=1−cosAcosC ，即 cosAcosC−sinCsinA+3sinB=1 ， 所以 cos(A+C)+3sinB=1 ， 又 A+B+C=π ，则 A+C=π−B ， 所以 cos(A+C)=cos(π−B)=−cosB ， 所以 3sinB−cosB=1 ，即 sin(B−π6)=12 ， 因为 B∈(0，π) ，则 B−π6∈(−π6，5π6) ， 所以 B−π6=π6 或 B−π6=5π6 （舍），解得 B=π3 . 若选择①，则 S△ABC=12acsinB=934 ，所以 ac=9 ， 又 cosB=a2+c2−b22ac=(a+c)2−2ac−b22ac=12 ，且 b=3 ， 所以 (a+c)2−18−918=12 ，解得a+c=6， 所以 △ABC 的周长=6+3=9. 若选择②：因为 asinA=bsinB ，所以 a=bsinAsinB=3×2232=6 ， 又 cosB=a2+c2−b22ac=6+c2−92×6×c=12 ， 因为 c>0 ，解得 c=6+322 ， 所以 △ABC 的周长= 6+3+6+322=36+32+62 ； 若选择③： cosB=a2+c2−b22ac=4c2+c2−92×2c×c=12 ， 因为 c>0 ，解得 c=3 ，所以 a=2c=23 ， 所以 △ABC 的周长 23+3+3=33+3

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