题目

已知△AOB 的三边OA= ， OB=6，AB= ， 以顶点O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N，当点M与N重合时，点P停止运动． （1） 求点A的坐标，并确定t的取值范围； （2） 求MN的长度（用含t的代数式表示）； （3） 设△AMN的面积为S，写出S关于t的函数关系式，并求S的最值． 答案： 解：过点A作AC⊥OB，交OB于点C，交MN于点D ， 设OC=x，则BC=6- x， ∵AC2=OA2−OC2，AC2=AB2−BC2， ∴OA2−OC2=AB2−BC2， ∴ （42）2 -x2=（25）2 -（6-x）2 解得：x=4．  ∴ AC=OA2−OC2=4．  ∴ A（4，4） ， ∴0≤t≤4． 解：根据题意得OP=t ，则CD= t ， ∴AD=4-t ∵MN∥OB， ∴△AMN ∽ △AOB． ∴MNOB=ADAC， ∴MN6=4−t4， ∴ MN=6−32t ； 解：S=12MN×AD =12（6−32t）（4-t）=34t2−6t+12=34(t−4)2，0≤t≤4 ∵ 二次函数图象的对称轴是直线t=4，开口向上，  ∴ S随着t 的增大而減小． ∴ 当t=0时，S有最大值，S最大=12； 当t=4时，S有最小值，S最小=0．

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