题目

已知函数 ， ， ． （Ⅰ）若 ，求满足 的实数x的取值范围； （Ⅱ）设 ，若存在 ，使得 成立，试求实数a的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）当 a=1 时，代入可得函数 g(x)=|x−1| ， 所以 g(x)+g(x−1)=|x−1|+|x−2| ， 当 x<1 时， g(x)+g(x−1)=−2x+3 ，若 g(x)+g(x−1)>1 ，即 −2x+3>1 ，解得 x<1 ，所以 x<1 满足不等式， 当 1≤x≤2 时， g(x)+g(x−1)=1 ，不满足不等式 g(x)+g(x−1)>1 ，此时无解； 当 x>2 时， g(x)+g(x−1)=2x−3 ，若 g(x)+g(x−1)>1 ，即 2x−3>1 ，解得 x>2 ，所以 x>2 满足不等式成立， 综上可知不等式的解集为 (−∞,1)∪(2,+∞) . （Ⅱ）函数 f(x)=2x−a ， g(x)=a|x−1| ， 由题意 h(x)=f(x)+g(x) =2x−a+a|x−1| ={(2−a)x,−2≤x<1(2+a)x−2a,1≤x≤2 因为存在 x1,x2∈[−2,2] ，使得 |h(x1)−h(x2)|≥6 成立， 所以只需 h(x)max−h(x)min≥6 ； ⑴当 a≤−2 时， 2−a>0,2+a≤0 ， 则 h(x) 在 [−2,1) 内单调递增，在 [1,2] 内单调递减， 所以 h(x)max=h(1)=2−a ， 因为 h(−2)=2a−4,h(2)=4, 所以 h(−2)<h(2) ， 所以 h(x)min=h(−2)=2a−4 ， 所以需 h(x)max−h(x)min=(2−a)−(2a−4)≥6 ， 解得 a≤0 ，又因为 a≤−2 ， 所以 a≤−2 ； ⑵当 −2<a<2 时， 2−a>0,2+a>0 ， 则 h(x) 在 [−2,2] 内单调递增， 所以 h(x)max=h(2)=4 ， h(x)min=h(−2)=2a−4 ， 所以需 h(x)max−h(x)min=4−(2a−4)≥6 ， 解得 a≤1 ，又因为 −2<a<2 ， 所以 −2<a≤1 ； ⑶当 a≥2 时， 2−a<0,2+a>0 ， 则 h(x) 在 [−2,1) 内单调递减，在 [1,2] 内单调递增， 所以 h(x)min=h(1)=2−a ： ① 当 2≤a<4 时，因为 h(−2)=2a−4,h(2)=4, 所以 h(−2)<h(2) ， 所以 h(x)max=h(2)=4 ， 则需满足 h(x)max−h(x)min=4−(2−a)≥6 ， 解得 a≥4 ，又因为 2≤a<4 ，所以此时无解； ② 当 a≥4 时，因为 h(−2)=2a−4,h(2)=4, 所以 h(−2)>h(2) ， 所以 h(x)max=h(−2)=2a−4 ， 则需满足 h(x)max−h(x)min=2a−4−(2−a)≥6 ， 解得 a≥4 ，满足题意. 综上所述，a的取值范围为 (−∞,1]∪[4,+∞) .

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