题目

如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣ x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）． （1） 求抛物线的解析式； （2） 求证：直线l是⊙M的切线； （3） 点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣ 29 ．∴抛物线的解析式为y=﹣ 29 x2﹣ 49 x+ 169 解：连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣ 12 x+4得：y=4，∴A（0，4）．将y=0代入得：0=﹣ 12 x+4，解得x=8，∴B（8，0）．∴OA=4，OB=8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG=1，AG=2．∴tan∠MAG=tan∠ABO= 12 ．∴∠MAG=∠ABO．∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．∴l是⊙M的切线 解：∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，∴∠FPE=∠FBD．∴tan∠FPE= 12 ．∴PF：PE：EF= 5 ：2：1．∴△PEF的面积= 12 PE•EF= 12 × 255 PF• 55 PF= 15 PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣ 29 x2﹣ 49 x+ 169 ），则F（x，﹣ 12 x+4）．∴PF=（﹣ 12 x+4）﹣（﹣ 29 x2﹣ 49 x+ 169 ）=﹣ 12 x+4+ 29 x2+ 49 x﹣ 169 = 29 x2﹣ 118 x+ 209 = 29 （x﹣ 18 ）2+ 7132 ．∴当x= 18 时，PF有最小值，PF的最小值为 7132 ．∴P（ 18 ， 5532 ）．∴△PEF的面积的最小值为= 15 ×（ 7132 ）2= 50415120

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