题目

设函数f（x）=xex﹣ax2（a∈R）． （1） 若函数g（x）= 是奇函数，求实数a的值； （2） 若对任意的实数a，函数h（x）=kx+b（k，b为实常数）的图象与函数f（x）的图象总相切于一个定点． ①求k与b的值；②对（0，+∞）上的任意实数x1 ， x2 ， 都有[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0，求实数a的取值范围． 答案： 解：∵函数g（x）= f(x)ex 是奇函数，∴ f(−x)e−x=−f(x)ex 恒成立， 即 −xe−x−ax2e−x =﹣ xex−ax2ex ，∴ax2（e﹣x+ex）=0恒成立，∴a=0． ①f′（x）=ex（x+1）﹣2ax，设切点为（x0，y0）， 则切线的斜率为f′（x0）=e x0 （x0+1）﹣2ax0，据题意f′（x0）是与a无关的常数，故x0=0，k=f′（0）=1，∵f（0）=0，∴切点为（0，0），∴切线的方程为h（x）=x，故k=1，b=0．②∵对（0，+∞）上的任意实数x1，x2，[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0恒成立，∴f（x）﹣h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，或f（x）﹣h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．f（x）﹣h（x）=x（ex﹣ax﹣1），设p（x）=ex﹣ax﹣1，x∈（0，+∞）．则p（x）＞0＞0在（0，+∞）上恒成立，或p（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．p′（x）=ex﹣a，当a≤1时，∵x∈（0，+∞），∴ex＞1，∴p′（x）＞0恒成立，∴p（x）在（0，+∞）上单调递增，∴p（x）＞p（0）=0，符合题意．当a＞1时，令p′（x）=0得x=lna，∴当0＜x＜lna时，p′（x）＜0，当x＞lna时，p′（x）＞0，∴p（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，∴p（lna）＜p（0）=0，而p（a）=ea﹣a2﹣1，（a＞1），令φ（a）=ea﹣a2﹣1，则φ′（a）=ea﹣2a，φ″（a）=ea﹣2＞e﹣2＞0，∴φ′（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ′（a）＞φ′（1）=e﹣2＞0，∴φ（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（a）＞φ（1）=e﹣2＞0，即p（a）＞0，而p（lna）＜0，不合题意．综上，实数a的取值范围（﹣∞，1]．

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