题目

（阅读材料）我们知道，“角”是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线在单位时间内以固定的角度绕其端点沿某一方向旋转，经过不同的旋转时间都会形成不同的角．在行程问题中，我们知道：运动路程＝运动速度×运动时间；类似的，在旋转问题中，我们规定：旋转角度＝旋转角速度×旋转时间．例如（如图），射线OM从射线OA出发，以每秒10°的旋转速度（称为“旋转角速度”）绕点逆时针旋转．旋转1秒得旋转角度∠MOA＝10°×1＝10°，旋转2秒得旋转角度∠MOA＝10°×2＝20°，……，旋转t秒得旋转角度∠MOA＝10°×t＝（10t）°．（问题解决）如图1，射线OA上有两点M、N．将射线OM以每秒10°的旋转角速度绕点O逆时针旋转（OM最多旋转9秒）；射线OM旋转3秒后，射线ON开始以每秒20°的旋转角速度绕点O逆时针旋转，如图2所示．设射线ON旋转时间为t秒． （1） 当t＝2时，∠MON＝°； （2） 当∠MON＝20°时，求t的值； （3） 如图3，OM、ON总是在某个角∠AOB的内部旋转，且当ON为∠AOB的三等分线时，OM恰好平分∠AOB，求∠AOB的度数． 答案： 【1】10 解：当OM与ON重合前，10（t+3）-20=20t，解得t=1；当OM与ON重合后，10（t+3）-20=20t，解得t=5，故t的值为1或5； 解：①如图，当OM与ON重合前，设∠AON=x，则∠AOB=3x，∠AOM=1.5x，∴∠AOM=1.5∠AON，∴10(t+3)=1.5×20t，解得t=1.5，∴∠AON=20t=30°，∴∠AOB=3×30°=90°；②如图，当OM与ON重合后，设∠BON=a，则∠AOB=3a，∠AOM=1.5a，∠AON=2a，∴∠AOM=34∠AON，∴10(t+3)=34×20t，解得t=6，∴∠AON=20t=120°=2a，∴a=60°，∴∠AOB=3a=180°；∴∠AOB的度数为90°或180°．

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