题目

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与坐标轴分别交于点 ， ． （1） 点的坐标为， 点的坐标为； （2） 若 为直线 在第一象限上一点，连接 ， ． ①当 时， 是以 为底的等腰直角三角形，求点 的坐标； ②当 时，是否仍然存在 是以 为底的等腰直角三角形的情况？如果存在，求此时点 的坐标；如果不存在，说明理由； ③当 是以 为底的等腰三角形，且为锐角三角形时，直接写出 的取值范围． 答案： 【1】（2,0）【2】（0,4） 解：①由 A(2,0) ， B(0,4) ，得 OA=2 OB=4 ， ∴AB=OA2+OB2=42+22=25 ， ∵ΔABM 是以 AB 为底的等腰直角三角形， ∴BM=AM ， 2AM2=AB2=20 ， 即 AM=BM=10 ． ∵ 点 M 为直线 y=x 在第一象限上一点， 即 ∠BOM=∠COM=45° ， 过点 M 分别向 x 轴， y 轴作垂线段 MC ， MD ， 则有 MD=MC ． ∵ ∠BMA=90° ，∠DMC=90°， ∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°， ∴∠BMD=∠AMC， ∵∠BDM=∠ACM=90°， ∴△BMD≌△AMC（ASA）， ∴BD=AC， 不妨设点 M 的坐标为 (a,a) ， 则有 OD=OC=MD=MC=a ． ∴BD=AC=OB−OD=OC−OA ． ∴4−a=a−2 ， 解得 a=3 ．点 M 的坐标为 (3,3) ； ②不存在． ∵ m≠1 ，设M点的横坐标为x，则M点的纵坐标为mx，tan∠MOC= MCOC=mxx=m≠1 ∴ MCOC≠1 ， ∵ ∠BAM=90° ，∠DMC=90°， ∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°， ∴∠BMD=∠AMC， ∵∠BDM=∠ACM=90°， ∴△BMD∽△AMC， ∴ BMAM=DMCM=OCMC≠1 ， ∴BM≠AM， ∴不存在 ΔABM 是以 AB 为底的等腰直角三角形； ③取AB的中点E，过E作AB的垂线，交x轴与F，与直线 y=mx(m>0) 交于M，则△ABM为等腰三角形， ∴B（0，4），A（2，0），设E（x,y）， ∴ x=2+02=1 ， y=0+42=2 ， ∴点E坐标为E（1,2）， y=mx(m>0) 过点E时，2=m， ∴m=2， ∵AB =25 ， ∴AE= 5 ， ∵∠FEA=∠BOA=90°，∠FAE=∠BEO， ∴△FAE∽△BAO， ∴ FAAB=AEOA 即 FA25=52 ， ∴AF=5， ∴FO=FA-OA=5-2=3， ∴F（-3，0）， 设EF解析式为： y=kx+e ，过E、F两点， {−3k+e=0k+e=2 ， 解得 {k=12e=32 ， 直线FE： y=12x+32 ， 当 y=mx(m>0) 与EF平行是两直线没有交点，即m= 12 ， 结合图形得 12<m<2 时， ΔABM 是以 AB 为底的等腰三角形．

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