题目

已知函数 ，其中ω＞0． （I）若对任意x∈R都有 ，求ω的最小值；（II）若函数y=lgf（x）在区间 上单调递增，求ω的取值范围• 答案：解：（Ⅰ）由已知f（x）在 x=5π12 处取得最大值， ∴ 5π12ω−π3=π2+2kπ，k∈Z ； 解得 ω=2+245k，k∈Z ，又∵ω＞0，∴当k=0时，ω的最小值为2； （Ⅱ）解法一：∵ x∈[π4，π2]，ω>0 ，∴ π4ω−π3≤ωx−π3≤π2ω−π3 ， 又∵y=lgf（x）在 x∈[π4，π2] 内单增，且f（x）＞0，∴ {π4ω−π3>−π6+2kππ2ω−π3≤π2+2kπ，k∈Z ．解得： 23+8k<ω≤53+4k，k∈Z ．∵ 23+8k<53+4k ，∴ k<14 且k∈Z，又∵ω＞0，∴k=0，故ω的取值范围是 (23，53] ．解法二：根据正弦函数的图象与性质，得 T2≥π2−π4 ，∴ T=2πω≥π2 ，∴0＜ω≤4，又y=lgf（x）在 x∈[π4，π2] 内单增，且f（x）＞0，∴ {π4ω−π3>−π6+2kππ2ω−π3≤π2+2kπ，k∈Z ；解得： 23+8k<ω≤53+4k，k∈Z ；可得k=0，所以ω的取值范围是 (23，53]

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