题目

已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在 上. （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 设 为坐标原点， ，试判断在椭圆 上是否存在三个不同点 (其中 的纵坐标不相等)，满足 ，且直线 与直线 倾斜角互补？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由. 答案： 解：由题意知可得 ca=32 ， a2−b2=c2 ， 83a2+13b2=1 ，解得 a=2 ， b=1 则椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 ； 解：由题意，直线 MN 的斜率存在且不为0，设直线 MN 方程为 y=kx+m ， 设点 M(x1,y1),N(x2,y2) ， 联立 {x24+y2=1y=kx+m ，得 (4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0 ， 所以 x1+x2=−8km1+4k2 ， x1x2=4m2−44k2+1 ， y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+4k2 ， 因为 OM→+ON→=12OQ→ ， 所以 Q(−16km1+4k2,4m1+4k2) ， 因为 Q 在椭圆上，所以 (−16km1+4k2)24+(4m1+4k2)2=1 ， 化简得 16m2=1+4k2 ， 满足 Δ>0 ， 又因为直线 HM 与直线 HN 倾斜角互补， 所以 kHE+kHF=0 ， 所以 y1+12x1+y2+12x2=0 ， 所以 kx1+m+12x1+kx2+m+12x2=0 ， 所以 2kx1x2+(m+12)(x1+x2)=0 ， 所以 4k(m+2)1+4k2=0 ， 因为 k≠0 ，所以 m=−2 ，代入 16m2=1+4k2 得 k=±372 ， 所以存在满足条件的三个点，此时直线 MN 的方程为 y=372x−2 或 y=−372x−2 .

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