题目

如图，抛物线 与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C. （1） 求A，B两点的坐标. （2） 点P是线段BC下方的抛物线上的动点，连结PC，PB. ①是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由. ②连结AC，AP，AP交BC于点F，当∠CAP＝∠ABC时，求直线AP的函数表达式. 答案： 解：令y＝0，则x＝1或﹣4，令x＝0，则y＝2， 即点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣2） 解：①存在，理由：过点P作HP∥y轴交BC于点H， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得： {0=4k+bb=−2 ，解得： {b=−2k=12 ， 故直线BC的表达式为：y＝ 12 x﹣2， 设点P坐标为（x， 12x2−32x−2 ）、H（x， 12 x﹣2）， S△PBC＝ 12 ×PH×OB＝ 12 ×（ 12 x﹣2 −12x2+32x+2 ）×4＝﹣x2+4x， ∵﹣1＜0，故S△PBC有最大值， 当x＝2时，面积的最大值为4，此时点P（2，﹣3）； ②∠CAP＝∠ABC，∠ACF＝∠ACF，∴△ACF∽△BCA， ∴AC2＝BC•CF，其中AC＝ 5 ，BC＝2 5 ， 故：CF＝ 52 ，BF＝BC﹣CF＝ 352 ， 设点F的坐标为（m， 12 m﹣2）， 则：BF2＝（m﹣4）2+（ 12 m﹣2）2＝（ 352 ）2， 解得：m＝1或7（舍去m＝7）， 故点F坐标（1，﹣ 32 ）， 将点A、F坐标代入一次函数表达式y＝kx+b， 同理可得：直线AF（或直线AP）的表达式为：y＝﹣ 34 x﹣ 34 .

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