题目

已知函数 的图象关于原点对称，其中a为常数. （1） 求a的值； （2） 当 时， 恒成立，求实数m的取值范围； （3） 若关于x的方程 在 上有解，求k的取值范围. 答案： 解：∵函数 f(x) 的图象关于原点对称，∴函数 f(x) 为奇函数， ∴ f(−x)=−f(x) ， 即 log121+ax−x−1=−log121−axx−1=log12x−11−ax ，解得 a=−1 或 a=1 （舍）. 解： f(x)+log12(x−1)=log121+x1−x+log12(x−1)=log12(1+x) 当 x>1 时， log12(1+x)<−1 ， ∵当 x∈(1,+∞) 时， f(x)+log12(x−1)<m 恒成立， ∴ m≥−1 . 解：由（1）知， f(x)=log12(x+k) ，即 f(x)=log12x+1x−1=log12(x+k) ，即 x+1x−1=x+k 即 k=2x−1−x+1 在 [2,3] 上有解， g(x)=2x−1−x+1 在 [2,3] 上单调递减 g(x) 的值域为 [−1,1] ， ∴ k∈[−1,1]

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