题目

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE. （1） 求证：DE是⊙O的切线； （2） 若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径. 答案： 证明：连接OD，OE，如图所示：∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵点E是边BC的中点，∴OE∥AB，∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，∴∠DOE=∠COE，∵OD=OC，OE=OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴DE是⊙O的切线； 解：连接CD，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴CDAD=BDCD，即CD2=AD·BD，∵AD＝4，BD＝9，∴CD2=36，∴CD=6，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=AD2+CD2=213，∴⊙O的半径为13.

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