题目

已知，如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，且AO＝CO，BC＝4． （1） 求抛物线解析式； （2） 如图2，点P是抛物线第一象限上一点，连接PB交y轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段OQ长为d，求d与t之间的函数关系式； （3） 在(2)的条件下，过点Q作直线l⊥y轴，在l上取一点M(点M在第二象限)，连接AM，使AM＝PQ，连接CP并延长CP交y轴于点K，过点P作PN⊥l于点N，连接KN、CN、CM．若∠MCN＋∠NKQ＝45°时，求t值． 答案： 解：如图1，当x=0时，y=3，∴A（0，3），∴OA=OC=3，∵BC=4，∴OB=1，∴B（﹣1，0），C（3，0），把B（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中得： {a−b+3=09a+3b+3=0 ，解得： {a=−1b=2 ，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3； 解：如图2，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），过P作PG⊥x轴于G，∵OQ∥PG，∴△BOQ∽△BGP，∴ OQPG=OBBG ，∴ d−t2+2t+3=1t+1 ，∴d= −(t−3)(t+1)t+1d=﹣t+3（0＜t＜3） 解：如图3，连接AN，延长PN交x轴于G，由（2）知：OQ=3﹣t，OA=3，∴AQ=OA﹣OQ=3﹣（3﹣t）=t，∴QN=OG=AQ=t，∴△AQN是等腰直角三角形，∴∠QAN=45°，AN= 2 t，∵PG∥OK，∴ PGOK=CGOC ，∴ −t2+2t+3OK=3−t3 ，OK=3t+3，AK=3t，∵∠QAN=∠NKQ+∠ANK。∴∠NKQ+∠ANK=45°，∵∠MCN+∠NKQ=45°，∴∠ANK=∠MCN，∵NG=CG=3﹣t，∴△NGC是等腰直角三角形，∴NC= 2 （3﹣t），∠GNC=45°，∴∠CNH=∠NCM+∠NMC=45°，∴∠NKQ=∠NMC，∴△AKN∽△NMC，∴ AKMN=ANNC ，∵AQ=QN=t，AM=PQ，∴Rt△AQM≌△Rt△QNP（HL），∴MQ=PN=﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）=﹣t2+3t，∴ 3t−t2+3t+3=2t2(3−t) ，t2﹣7t+9=0，t1= 7+132 ＞3，t2= 7−132 ，∵0＜t＜3，∴t1＞3，不符合题意，舍去，∴t= 7−132 ．

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