题目

设实数x，y满足 ． （1） 若|7﹣y|＜|2x|+3，求x的取值范围； （2） 若x＞0，y＞0，求证： ． 答案： 解：∵ x+y4=1 ，∴y=4﹣4x， 则由|7﹣y|＜|2x|+3⇒|4x+3|﹣|2x|＜3，当 x<−34 时，由|4x+3|﹣|2x|＜3得x＞﹣3，则 −3<x<−34 ；当 −34≤x≤0 时，由|4x+3|﹣|2x|＜3得x＜0，则 −34≤x<0 ；当x＞0时，由|4x+3|﹣|2x|＜3得x＜0，解集为ϕ；综上，x的取值范围是（﹣3，0）． 证明：∵x＞0，y＞0， ∴ 1=x+y4≥2x⋅y4=xy ，即 −xy≥−1 ，当且仅当 x=y4=12 时等号成立．又 1x+4y=(1x+4y)(x+y4)=2+y4x+4xy≥4 ，当且仅当 y4x=4xy ，即 x=y4=12 时等号成立，∴ 1x+4y−xy≥3 ．

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