题目

已知函数f（x）=lnx+x2 ． （1） 若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围； （2） 在（1）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值； （3） 设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0 ， F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由． 答案： 解：g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax， g(x')=1x+2x−a 由题意知，g′（x）≥0，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即 a≤(2x+1x)min 又∵x＞0， 2x+1x≥22 ，当且仅当 x=22 时等号成立∴ 2x+1x=22 ，可得 a≤22 解：由（1）知， 1<a≤22 ，令t=ex，则t∈[1，2]，则 h（t）=t3﹣3at， h'(t)=3t2−3a=3(t+a)(t−a) 由h′（t）=0，得 t=a 或 t=−a （舍去），∵ 1<a≤22 ，∴ a∈(1,84] 若 1<t≤a ，则h′（t）＜0，h（t）单调递减；若 a<t≤2 ，则h′（t）＞0，h（t）单调递增∴当 t=a 时，h（t）取得极小值，极小值为 h(a)=aa−3aa=−2aa 解：设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx 结合题意，有 {2lnm−m2−km=0①2lnn−n2−kn=0②m+n=2x0③2x0−2x0−k=0④ ①﹣②得 2lnmn−(m+n)(m−n)=k(m−n) 所以 k=2lnmnm−n−2x0 ，由④得 k=2x0−2x0 所以 lnmn=2(m−n)m+n=2(mn−1)mn+1 ⑤设 u=mn∈(0,1) ，⑤式变为 lnu−2(u−1)u+1=0(u∈(0,1)) 设 y=lnu−2(u−1)u+1(u∈(0,1)) ， y'=1u−2(u+1)−2(u−1)(u+1)2=(u+1)2−4uu(u+1)2=(u−1)2u(u+1)2>0 所以函数 y=lnu−2(u−1)u+1 在（0，1）上单调递增，因此，y＜y|u=1=0，即 lnu−2(u−1)u+1<0 ，也就是 lnmn<2(mn−1)mn+1 此式与⑤矛盾所以F（x）在（x0，F（x0））的切线不能平行于x轴

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