题目

在中，角A，B，C为的三个内角． （1） 若 ， 证明：为等腰三角形． （2） 若 ， 用反证法证明：为直角三角形． 答案： 证明：sinBsinC=cos2A2=1+cosA2，所以2sinBsinC=1+cosA=1−cos(B+C)=1−cosBcosC+sinBsinC，所以cosBcosC+sinBsinC=1．所以cos(B−C)=1．因为B−C∈(−π，π)，所以B=C，故△ABC为等腰三角形． 证明：假设△ABC不是直角三角形，则A，B，C都不等于π2．因为sinC=cosA+cosB，所以sin(A+B)=cosA+cosB，所以sinAcosB+cosAsinB=cosA+cosB，所以cosA(1−sinB)+cosB(1−sinA)=0．因为(1+sinA)(1+sinB)>0，所以cosA(1−sinB)(1+sinA)(1+sinB)+cosB(1−sinA)(1+sinA)(1+sinB)=0．所以cosA(1−sin2B)(1+sinA)+cosB(1−sin2A)(1+sinB)=0，所以cosAcos2B(1+sinA)+cosBcos2A(1+sinB)=0．因为A，B，C都不等于π2，所以cosA≠0，cosB≠0，所以cosA+cosB+sinAcosB+cosAsinB=0，所以cosA+cosB+sin(A+B)=0．因为cosA+cosB=sinC，所以2sinC=0，这与sinC≠0矛盾，所以假设不成立，故△ABC为直角三角形．

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