题目

已知函数 . （1） 讨论函数 在 上的单调性； （2） 是否存在正实数 ，使 与 的图象有唯一一条公切线，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由. 答案： 解： F(x)=f(x)−g(x)=mlnx−x−1x,F′(x)=mx−1x2=mx−1x2 ， 当 m⩽0 时， F′(x)<0 ，所以，函数 F(x) 在 (0,+∞) 上单调递减； 当 m>0 时，由 F′(x)<0 得 0<x<1m ，由 F′(x)>0 得 x>1m ， 所以，函数 F(x) 在 (0,1m) 上单调递减；函数 F(x) 在 (1m,+∞) 上单调递增. 解：函数 f(x)=mlnx 在点 (a,mlna) 处的切线方程为 y−mlna=ma(x−a) ，即 y=max+mlna−m ； 函数 g(x)=x−1x 在点 (b,1−1b) 处的切线方程为 y−(1−1b)=1b2(x−b) ，即 y=1b2x−2b+1 由 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象有唯一一条公切线， ∴ {     ma=1b2           ①mlna−m=1−2b ② ，由①得 m=ab2 代入②消去 m ， 整理得 b2−2b−alna+a=0 ③ 则此关于 b(b>0) 的方程③有唯一解， 令 g(b)=b2−2b−alna+a=(b−1)2−alna+a−1 ， 令 h(a)=−alna+a−1 ， h′(a)=−lna 由 h′(a)>0 得 0<a<1 ；由 h′(a)<0 得 a>1 所以，函数 h(a) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减， 则 h(a)≤h(1)=0 ， （i）当 h(a)<0 时，二次函数 g(b)=(b−1)2−alna+a−1 在 b∈(1,+∞) 上显然有一个零点， b∈(0,1) 时，由方程 mlna−m=1−2b 可得 m(lna−1)=b−2b<0 而 m>0 所以 lna−1<0 则 g(0)=−alna+a=−a(lna−1)>0 所以二次函数 g(b)=(b−1)2−alna+a−1 在 b∈(0,1) 上也有一个零点，不合题意. 综上， m=1 . 所以存在正实数 m=1 ，使 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象有唯一一条公切线.

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