题目

已知抛物线与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ，该抛物线的顶点为D． （1） 求抛物线的解析式及其顶点D的坐标； （2） 直线 的解析式为； （3） 过点D作 轴于H ， 在线段 上有一点P到直线 的距离等于线段 的长，求点P的坐标； （4） 设直线 交x轴于点E ． 过点B作x轴的垂线，交直线 于点F ， 将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 答案： 解：设抛物线解析式为 y=a(x+2)(x−4) ，把 C(0,8) 代入得 a=−1 ． ∴ y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9 ，顶点 D(1,9) 【1】y=x+8 作 PM⊥CD 于M，设 P(1,t) ， 因为直线 CD 与x轴的夹角为 45° ， ∴点P到 CD 的距离 PM=22PD ，且 PD=9−t ，又 PO=1+t2 ． ∴由题意 PM=PO ，即 PM2=PO2 ， ∴ 1+t2=12(9−t)2 整理得： t2+18t−79=0 ， 解得 t1=−9+410 ； t2=−9−410 （舍）． ∴P的坐标为 (1,−9+410) ． 由上求得 E(−8,0) ， F(4,12) ． ①若抛物线向上平移，可设解析式为 y=−x2+2x+8+m(m>0) ． 当 x=−8 时， y=−72+m ．当 x=4 时， y=m ， ∴ −72+m≤0 或 m≤12 ．∴ 0<m≤72 ． ②若抛物线向下移，可设解析式为 y=−x2+2x+8−m ． 由 {y=−x2+2x+8−my=x+8 ，有 x2−x+m=0 ． ∴ Δ=1−4m≥0 ，∴ 0<m≤14 ． ∴向上最多可本题考查了平移72个单位长，向下最多可平移 14 个单位长．

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