题目

已知a∈R，当x＞0时，f（x）=log2（ +a）． （1） 若函数f（x）过点（1，1），求此时函数f（x）的解析式； （2） 若函数g（x）=f（x）+2log2x只有一个零点，求实数a的范围； （3） 设a＞0，若对任意实数t∈[ ，1]，函数f（x）在[t，t+1]上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围． 答案： 解：∵a∈R，当x＞0时，f（x）=log2（ 1x +a）． 函数f（x）过点（1，1），∴f（1）=log2（1+a）=1，解得a=1，∴此时函数f（x）=log2（ 1x +1）（x＞0）． 解：g（x）=f（x）+2log2x= log2(1x+a) +2log2x=log2（x+ax2）， ∵函数g（x）=f（x）+2log2x只有一个零点，∴g（x）=f（x）+2log2x=log2（x+ax2）=0∴（ 1x +a）•x2=1化为ax2+x﹣1=0∴h（x）=ax2+x=1在（0，+∞）上只有一个解，∴当a=0时，h（x）=x﹣1，只有一个零点，可得x=1；当a≠0时，h（x）=ax2+x﹣1在（0，+∞）上只有一个零点，当a＞0时，成立；当a＜0时，令△=1+4a=0解得a=﹣ 14 ，可得x=2．综上可得，a≥0或a=﹣ 14 ． 解：f（x）= log2(1x+a)=log2(1+axx) ， f′（x）=﹣ ln2x2⋅x1+ax=ln2ax2+x ，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在[t，t+1]上的最大值与最小值分别是f（t）与f（t+1），由题意，得f（t）﹣f（t+1）≤1，∴ 1+att⋅t+11+at+a ≤2，整理，得a≥ −t+1t2+t ，设Q（t）= −t+1t2+t ，Q′（t）= t2−2t−1(t2+t)2 ，当t∈[ 13 ，1]时，Q′（t）＜0，则a≥Q（t），∴a≥Q（ 13 ），解得a≥ 32 ．∴实数a的取值范围是[ 32 ，+∞）．

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