题目

已知函数 的部分图象如图所示. （1） 求 ， 和 的值； （2） 求函数 在 上的单调递减区间； （3） 若函数 在区间 上恰有2020个零点，求 的取值范围. 答案： 解：由题可得 A=1 ， T=2(43−13)=2 ，则 ω=2πT=π ， 当 x=56 时， f(x) 取得最大值，则 56π+φ=π2+2kπ(k∈Z) ， 所以 φ=−π3+2kπ(k∈Z) ， 又因为 |φ|<π2 ，故 φ=−π3 解：由（1）可知 f(x)=sin(πx−π3) ， 令 π2+2kπ⩽πx−π3⩽3π2+2kπ ， k∈Z ， 则 56+2k⩽x⩽116+2k ， k∈Z ， 故 f(x) 的单调递减区间为 [56+2k ， 116+2k](k∈Z) ， 则 f(x) 在 [1 ， 2] 上的单调递减区间为 [1 ， 116] 解：令 f(x)=sin(πx−π3)=0 ，则 πx−π3=kπ ，解得 x=k+13 ， k∈Z ， 所以 f(x) 在 [13,73) 上有两个零点，因为 f(x) 周期为2， 若函数 y=f(x) 在区间 [a ， b] 上恰有2020个零点， 则 1009×2+1⩽b−a<1010×2 ， 解得 b−a 的取值范围为 [2019 ， 2020)

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