题目

如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是BD弧上的一点，OE⊥BD于点G，连接AE交BC于点F，AC是⊙O的切线． （1） 求证：∠ACB=2∠EAB； （2） 若cos∠ACB= ，AC=10，求BF的长． 答案： 证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAB=90°，∴∠C+∠CAD=∠CAD+∠DAB=90°，∴∠C=∠DAB，∵OE⊥BD，∴2 BE^ = BD^ ，∴∠BAE= 12∠ BDA，∴∠ACB=2∠EAB 解：∵cos∠ACB= 25 ，AC=10， ∴BC=25，∴AB= BC2−AC2 =5 21 ，∵∠C=∠BAD，∠B=∠B，∴△ABC∽△DBA，∴ ABBC=BCAB ，∴BD= AB2BC =21，∵OE⊥BD，∴BG=DG= 212 ，∵AD= AC⋅ABBC =2 21 ，∵AO=BO，BG=DG，∴OG= 12 AD= 21 ，∴GE= 3212 ，∵AD∥GE，∴ DFFG=ADGE = 43 ，∴FG= 37 DG= 92 ，∴BF=BG+FG= 212 + 92 =15．

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