题目

如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， . （1） 求证： 平面 ； （2） 求异面直线 与 所成角的大小； （3） 点 在线段 上，且 ，点 在线段 上，若 平面 ，求 的值（用含 的代数式表示）. 答案： 解：在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，由 BB1⊥ 平面 ABC ，所以 BB1⊥ 平面 A1B1C1 ， 又因为 BB1⊂ 平面 B1BCC1 ，所以平面 B1BCC1⊥ 平面 A1B1C1 ，交线为 B1C1 . 又因为 AB⊥BC ，所以 A1B1⊥B1C1 ，所以 A1B1⊥ 平面 B1BCC1 . 因为 BC1⊂ 平面 B1BCC1 ，所以 A1B1⊥BC1 又因为 BB1=BC=2 ，所以 B1C⊥BC1 ， 又 A1B1∩B1C=B1 ，所以 BC1⊥ 平面 A1B1C . 解：由（1）知 BB1⊥ 底面 ABC ， AB⊥BC ，如图建立空间直角坐标系 B−xyz ， 由题意得 B(0,0,0) ， C(2,0,0) ， A1(0,2,2) ， B1(0,0,2) . 所以 B1C→=(2,0,−2) ， A1B→=(0,−2,−2) . 所以 cos(A1B→,B1C→)=A1B→⋅B1C→|BA1→||B1C→|=12 . 故异面直线 B1C 与 A1B 所成角的大小为 π3 . 解：易知平面 A1ACC1 的一个法向量 n→=(1,1,0) ， 由 B1MB1C=λ ，得 M(2λ,0,2−2λ) . 设 A1NA1B=μ ，得 N(0,2−2μ,2−2μ) ，则 MN→=(−2λ,2−2μ,2λ−2μ) 因为 MN// 平面 A1ACC1 ，所以 MN→⋅n→=0 ， 即 (−2λ,2−2μ,2λ−2μ)⋅(1,1,0)=0 ，解得 μ=1−λ ，所以 A1NA1B=1−λ .

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