题目

如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． （1） 求该抛物线的解析式； （2） 当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC； （3） 当△PCD的面积最大时，求点P的坐标． 答案： 解：由题意，得 {16a+4b−4=04a−2b−4=0 ，解得 {a=12b=−1 ，∴抛物线的解析式为y= 12x2 ﹣x﹣4 解：设点P运动到点（x，0）时，有BP2=BD•BC，令x=0时，则y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC，∴ BDBC=BPBA ．∵BC= BO2+OC2 = 22+42 =2 5 ，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2．∴BD= BP×BCBA = 25(x+2)6 = 5(x+2)3 ．∵BP2=BD•BC，∴（x+2）2= 5(x+2)3 ×2 5 ，解得x1= 43 ，x2=﹣2（﹣2不合题意，舍去），∴点P的坐标是（ 43 ，0），即当点P运动到（ 43 ，0）时，BP2=BD•BC； 解：∵△BPD∽△BAC，∴ S△BPDS△BAC=(BPAB)2 ，∴ S△BPD=(BPAB)2⋅S△BAC=(x+26)2 × 12×6×4=(x+2)23S△PDC=S△PBC﹣S△PBD= 12 ×（x+2）×4﹣ (x+2)23=−13(x−1)2+3∵ −13<0 ，∴当x=1时，S△PDC有最大值为3．即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．

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