题目

已知函数 为偶函数， . （1） 求实数 的值； （2） 若 时，函数 的图象恒在 图象的上方，求实数 的取值范围； （3） 求函数 在 上的最大值与最小值之和为2020，求实数 的值. 答案： ∵ 函数 f(x)=log4(4x+1)+kx 为偶函数， ∴f(−x)=f(x) ， ∴log4(4−x+1)−kx=log4(4x+1)+kx ， 得 2kx=log4(4x+14x)−log4(4x+1)=log44−x=−x ， 解得 2k=−1 ，即 k=−12 . 若 x∈[−2，0] 时，函数 f(x) 的图像恒在 g(x) 图像的下方， 则 f(x)≤g(x) 恒成立， 即 log4(4x+1)−12x≤12(x+a) ，即 log4(4x+1)−x≤12a . 所以 12a≥log4(4x+1)−log44x=log44x+14x=log4(1+14x) . 因为 x∈[−2，0] 时， log4(1+14x)≤log4(1+140)=12 ， 所以 12a≥12 ，得 a≥1 . y=−4log4(4x+1)+12(2x+2+a)=−(4x+1)+2x+1+12a=−(2x−1)2+12a ， 所以当 x∈[−1，2] 时， 2x∈[12，2] 当 2x=1 时，取得最大值 12a ，当 2x=2 取得最小值 −1+12a ， 所以 12a−1+12a=2020 ，解得 a=2021 .

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