题目

已知函数 ． （1） 求函数 的极值； （2） 讨论方程 实数解的个数． 答案： 解： f′(x)=x2−4 ． 令 f′(x)=0 ，解得 x=−2 或 x=2 ． x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 (2，+∞) f'（x） + 0 - 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此，当 x=−2 时， f(x) 有极大值，且极大值为 f(−2)=193 ． 当 x=2 时， f(x) 有极小值，且极小值为 f(2)=−133 ． 方程 f(x)=a 的实数解的个数，即为函数 y=f(x) 的图象与直线 y=a 的交点的个数． 当 x→−∞ 时， f(x)→−∞ ，当 x→+∞ 时， f(x)→+∞ ， 结合（1）知 f(x) 的大致图象如图所示．   所以，当 a>193 或 a<−133 时，解为1个； 当 a=193 或 a=−133 时，解为2个； 当 −133<a<193 时，解为3个．

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