题目

已知是定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根 ， 称为函数的特征根. （1） 讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2） 求的表达式； （3） 把函数在上的最大值记作 ， 最小值记作 ， 令 ， 若恒成立，求实数的取值范围. 答案： 解：当m=0时，f(x)=2xx2+1，则f(−x)=2(−x)(−x)2+1=−2xx2+1=−f(x)，即f(x)为奇函数；当m≠0时，因为f(1)=2−m2=1−m2，f(−1)=−2−m2=−1−m2，所以f(1)≠f(−1)，f(1)≠−f(−1)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当m=0时，f(x)为奇函数；当m≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 解：由题意可得，方程f(x)=1x的两个特征根为α，β，则方程x2−mx−1=0的两个实数根为α，β，由Δ=m2+4>0，所以α+β=m，αβ=−1，故β−α=(α+β)2−4αβ=m2+4，所以f(β)−f(α)=2β−mβ2+1−2α−mα2+1=(β−α)[m(α+β)−2αβ+2](β2+1)(α2+1)=m2+4(m2+4)m2+4=m2+4，即f(β)−f(α)=m2+4. 解：由f(x)=2x−mx2+1，得f′(x)=−2(x2−mx−1)(x2+1)2，由（2）可知，方程x2−mx−1=0的两个实数根为α，β，则当x∈[α，β]时，x2−mx−1≤0恒成立，所以f′(x)≥0恒成立，则f(x)在[α，β]上单调递增，所以g(m)=f(x)max−f(x)min=f(β)−f(α)=m2+4，由g(m)≤λ(m2+8)恒成立，可知m2+4≤λ(m2+8)恒成立，所以λ≥m2+4m2+8恒成立，因为m2+4m2+8=m2+4m2+4+4=1m2+4+4m2+4≤14，其中m2+4+4m2+4≥2m2+4⋅4m2+4=4当且仅当m2+4=4m2+4，即m=0时等号成立，所以λ≥14，故实数λ的取值范围为[14，+∞)．

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