题目

如图，四边形 为菱形，以 为直径作 交 于点 ，连接 交 于点 ， 是 上的一点，且 ，连接 . （1） 求证： . （2） 求证： 是 的切线. （3） 若 ， ，求四边形 的面积. 答案： 证明：如图1，连接 DF ， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴ AB=BC=CD=DA ， AD//BC ， ∠DAB=∠C ， ∵ BF=BE ， ∴ AB−BF=BC−BE ，即 AF=CE ， ∴ ΔDAF≌ΔDCE 解：∵ ΔDAF≌ΔDCE ∴ ∠DFA=∠DEC . ∵ AD 是 ⊙O 的直径， ∴ ∠DFA=90° ，∴ ∠DEC=90° . ∵ AD//BC ， ∴ ∠ADE=∠DEC=90° ， ∴ OD⊥DE . ∵ OD 是 ⊙O 的半径， ∴ DE 是 ⊙O 的切线 解：如图2，连接 AH ， ∵ AD 是 ⊙O 的直径， ∴ ∠AHD=∠DFA=90° ， ∴ ∠DFB=90° ， ∵ AD=AB ， DH=5 ， ∴ DB=2DH=25 ， 在 RtΔADF 和 RtΔBDF 中， ∵ DF2=AD2−AF2 ， DF2=BD2−BF2 ， ∴ AD2−AF2=DB2−BF2 ， ∴ AD2−(AD−BF)2=DB2−BF2 ， ∴ AD2−(AD−2)2=(25)2−22 ， ∴ AD=5 ． ∴ AF=3 ∴ DF=AD2−AF2=4 ∴四边形 ABCD 的面积 =AB⋅DF=5×4=20 ．

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