题目

如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足 . （1） 直接写出 ， ； （2） 连接AB，P为 内一点， . ①如图1，过点 作 ，且 ，连接 并延长，交 于 .求证： ； ②如图2，在 的延长线上取点 ，连接 .若 ，点P（2n，−n），试求点 的坐标. 答案： 【1】3【2】−3 解：①连接AC， ∵∠COP=∠AOB=90°， ∴∠COP-∠AOP =∠AOB-∠AOP， ∴ ∠COA=∠POB ， 在△OPB和△OCA中， {CO=PO∠COA=∠POBOA=OB ， ∴△OPB≌△OCA（SAS）， ∴AC=BP，∠OCA=∠OPB=90°， 过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N， ∵∠COP=90°，OP=OC， ∴∠OCP=∠OPC=∠ACP=45°， ∵∠OPB=90°， ∴∠BPN=45°， ∴△BNP为等腰直角三角形， ∴∠BPN=∠N=45°， ∴BN=BP=AC， 在△ACD和△BND中， {∠ADC=∠BDN∠ACD=∠N=45°AC=BN ， ∴△ACD≌△BND（AAS）， ∴AD=DB； ②∵∠AOB=90°，AO=OB， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴∠OBA=45°， ∵∠MBO=∠ABP， ∴∠MBO+∠OBP=∠ABP+∠OBP=∠OBA=45°， ∴∠MBP=45°， ∵OP⊥BP， ∴△BMP为等腰直角三角形， ∴MP=BP， 过点P作y轴的平行线EF，分别过M，B作ME⊥EF于E，BF⊥EF于F，EF交x轴于G，ME交y轴于H，连接OE， ∴∠MPE+∠EMP=∠MPE +∠FPB=90°， ∴∠EMP=∠FPB， 在△PBF和△MPE中，  {∠PFB=∠MEP=90°∠FPB=∠EMPPB=PM ， ∴△PBF≌△MPE（AAS）， ∴BF=EP，PF=ME， ∵P（2n，−n）， ∴BF=EP=EH=2n，PG=EG=n，PF=ME=3−n， ∴MH=ME-EH=3−n−2n=3−3n， ∴E（2n，n） ，M（3n−3，n）， ∴点P，E关于x轴对称， ∴OE=OP，∠OEP=∠OPE， 同理OM=OE，点M，E关于y轴对称， ∴3n−3+2n=0， 解得 n=35 ，即点M的坐标为（ −65 ， 35 ）.

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