题目

已知斜率为 的直线 经过点 ，且直线 交椭圆 于 ， 两个不同的点. （Ｉ）若 ，且 是 的中点，求直线 的方程； （Ⅱ）若 随着 的增大而增大，求实数 的取值范围. 答案：解：（Ｉ）设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，直线 l 的方程为 y=x+m ， 联立椭圆方程 x24+y2=1 ，得 5x2+8mx+4(m2−1)=0 所以 {x1+x2=−8m5x1x2=4(m2−1)5 ， 因为点 A 是 MB 中点，所以 x2=2x1 ，代入得 x1=−8m15 ， x1=−16m15 所以 x1x2=128m625=4(m2−1)5 ，解得 m=±36513 所以直线 l 的方程为 y=x±36513 （Ⅱ）设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，直线 l 的方程为 y=kx+m ， 联立椭圆方程得 (1+4k2)x2+8kmx+4(m2−1)=0 所以 {x1+x2=−8km1+4k2x1x2=4(m2−1)1+4k2 ， |x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=41+4k2−m21+4k2 所以 |AB|=1+k2|x1−x2|=41+k21+4k2−m21+4k2=2(4+4k2)(1+4k2−m2)(1+4k2)2 记 1+4k2=t,t≥1 ，则 |AB|2=4(3+t)(t−m2)t2=4[−3m2·1t2+(3−m2)·1t+1] 记 1t=μ,0<μ≤1 ,  |AB|2=4[−3m2·μ2+(3−m2)·μ+1] 由 |AB| 随着 |k| 的增大而增大，所以 |AB|2 随着 μ 的增大而增大 所以函数 −3m2·μ2+(3−m2)·μ+1 在 0<μ≤1 上单调递减 当 m=0 时，显然不成立 当 m≠0 时，有 3−m26m2≤0 ，解得 m≥3 或 m≤−3

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