题目

如图，在四棱锥中，底面直角梯形，是等边三角形，且. （1） 若 ， 证明：平面平面； （2） 若平面平面 ， 求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 答案： 证明：作CM⊥AD，垂足为M，因为AD⊥AB，AD∕∕BC，所以AB⊥BC，又CM⊥AD，AB=BC=2，所以四边形ABCM为正方形，所以AM=CM=2，又AD=4，所以DM=2，所以CD=CM2+DM2=22，又AC2=AB2+BC2=8，所以AC2+CD2=AD2，所以AC⊥CD，又CD⊥PC，AC∩PC=C，AC，PC⊂平面APC，所以CD⊥平面APC，因为CD⊂平面ABCD，CD⊥平面APC，所以平面PAC⊥平面ABCD； 解：过A作AN⊥平面ABCD，以{AB→，AD→，AN→}为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P(1，0，3)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，B(2，0，0)所以CP→=(−1，−2，3)，CD→=(−2，2，0)，设平面PCD的法向量为m→=(x，y，z)，则{m⋅CP⇀=−x−2y+3z=0，m⋅CD⇀=−2x+2y=0，取x=1，则y=1，z=3，所以m→=(1，1，3)，设平面PBC的法向量为n→=(a，b，c)，由BC→=(0，2，0)，BP→=(−1，0，3)，有{BC⇀⋅n=2b=0，BP⇀⋅n=−a+3c=0，取a=3，b=0，c=1，可得n→=(3，0，1)，有m→⋅n→=23，|m→|=5，|n→|=2，设平面PBC与平面PCD所成锐二面角为θ，则cosθ=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=235×2=155.

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