题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合） （1） 写出点B的坐标； （2） 点C在x轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP． （3） 当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论； （4） 点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标． 答案： 【1】（ 3 ，1） 解：如图2， ∵△AOB与△ACP都是等边三角形， ∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°， ∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO， 即∠CAO=∠PAB， ∴△AOC≌△ABP（SAS） 解：如图2中，∵△AOC≌△ABP， ∴∠ABP=∠AOC=90°， ∴PB⊥AB， ∴点P在过点B且垂直于AB的直线上 解：①如图3，当点C在x轴正半轴上，点P在第一象限时，BP=OB=2， ∵∠ABP=90°， ∴AP= 22+22 =2 2 ， ∴AC=AP=2 2 ， ∴OC= AC2−OA2=2 ， ∴C（2，0）； ②如图4，当点C在x轴负半轴，点P在x轴正半轴时，OP=BP，此时AP垂直平分OB， ∴∠OAP=30°， ∴AP=PC=2OP， ∵AO2+OP2=AP2，即22+OP2=4OP2， ∴OP= 233 ， ∴OC= 233 ， ∴C（- 233 ，0）； ③如图5，当点C在x轴负半轴，点P在第四象限时，BP=OB=2， ∵∠ABP=90°， ∴AP= 22+22 =2 2 ， ∴AC=AP=2 2 ， ∴OC= AC2−OA2=2 ， ∴C（-2，0）； ④如图6，当点C在x轴负半轴，点P在y轴负半轴时，OP=OB=2， 此时AP=2OP=4，∴AC=AP=4， ∵∠AOC=90°，OA=2， ∴OC= AC2−OA2=23 ， ∴C（-2 3 ，0）； 综上，点C的坐标为：（2，0）或（- 233 ，0）或（-2，0）或C（-2 3 ，0）

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