题目

设函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处的切线垂直于直线 ． （1） 求 的值； （2） 若函数 ，讨论 的单调性． 答案： 解：依题意得 f′(x)=2ax+b ，因为 f(x) 在 x=0 处取得极值，故 f′(0)=b=0 ， 曲线 y=f(x) 在点 (1，f(1)) 处的切线的斜率为 k=f′(1)=2a ， 因为切线垂直于直线 x+2y+1=0 ，所以切线的斜率为 k=2 ，故 2a=2 ，得 a=1 ， 所以 a=1，b=0 ； 解：由（1）知， g(x)=exx2+k，(k>0) ， g′(x)=ex(x2−2x+k)(x2+k)2，(k>0) 令 g′(x)=0 ，则 x2−2x+k=0，(k>0) ①当 Δ=4−4k<0 即 k>1 时， g′(x)>0 在 R 上恒成立，故函数 g(x) 在 R 上为增函数； ②当 Δ=4−4k=0 即 k=1 时， g′(x)=ex(x−1)2(x2+1)2>0(x≠1) ，故函数 g(x) 在 R 上为增函数； ③当 Δ=4−4k>0 即 0<k<1 时， x2−2x+k=0 有两个不等实根 x1=1−1−k ， x2=1+1−k ；当 x∈(−∞，1−1−k)∪(1+1−k，+∞) 时， g′(x)>0 故函数 g(x) 在 (−∞，1−1−k)，(1+1−k，+∞) 上为增函数，当 x∈(1−1−k，1+1−k) 时， g′(x)<0 故函数 g(x) 在 (1−1−k，1+1−k) 上为减函数.

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