题目

在直角坐标系 中，以 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 . （1） 求 与 的直角坐标方程； （2） 若 与 的交于P点， 与 交于A、B两点，求 的面积. 答案： 解：∵曲线 C1 的极坐标方程为 ρsinθ=4 ， ∴根据题意，曲线 C1 的普通方程为 y=4 . ∵曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+1=0 ， ∴曲线 C2 的普通方程为 x2+y2−2x−4y+1=0 ， 即 (x−1)2+(y−2)2=4 ； 解：∵曲线 C3 的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R) ， ∴曲线 C3 的普通方程为 y=x ， 联立 C1 与 C2:{y=4(x−1)2+(y−1)2=4 ，得 x2−2x+1=0 ， 解得 x=1 ， ∴点 P 的坐标 (1,4) ， 点 P 到 C3 的距离 d=|1−4|2=322 . 设 A(ρ1,θ1) ， B(ρ2,θ2) 将 θ=π4 代入 C2 ，得 ρ2−32ρ+1=0 ， 则 ρ1+ρ2=32 ， ρ1ρ2=1 ， |AB|=|ρ1−ρ2|=(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=14 ， ∴ SΔPAB=12|AB|d=12×14×322=372 .

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