题目

已知函数 ． （1） 当 时，求函数 的单调区间； （2） 设 时，函数 的图象始终在x轴的上方，求实数a的取值范围． 答案： 当 a=0 时，函数 g(x)=1−ex2 ， 所以 h(x)=f(x)+g(x)e=m2lnx+mx+1e−x2(x>0) 所以 h′(x)=m2x+m−2x=m2+mx−2x2x2=−(x−m)(2x+m)x2 所以， m>0 时， h(x) 增区间是 (0,m) ，减区间是 (m,+∞) ﹔ m=0 时， h(x) 减区间是 (0,+∞) ，无增区间； m<0 时， h(x) 增区间是 (0,−m2) ，减区间是 (−m2,+∞) ， 由函数 g(x) 的图像始终在x轴的上方，可得： g(x)=eax−ex>0 即 eax>ex2 ，所以 lneax>ln(ex2) ，可得： ax>1+2lnx(x>0) 所以 a>1+2lnxx(x>0) 恒成立， 令 k(x)=1+2lnxx,k′(x)=1−2lnxx2 所以 k(x) 在区间 (0,e) 上单调递增， (e,+∞) 上单调递， 所以 k(x)≤k(e)=2ee ，所以 a>2ee ， 综上可得，实数a的取值范围为 (2ee,+∞)

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