题目

如图1．已知四边形 是矩形．点E在 的延长线上． 与 相交于点G，与 相交于点 （1） 求证： ； （2） 若 ，求 的长； （3） 如图2，连接 ，求证： ． 答案： 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， {AE=AD∠EAF=∠DABAF=AB ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； 解：设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴ EAEB=AFBC ，又AF=AB=1， ∴ x1+x=1x 即 x2−x−1=0 ， 解得： x=1+52 ， x=1−52 （舍去） 即AE= 1+52 ； 解：在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， {AE=AD∠HEA=∠GDAEH=DG ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠EAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴ AH2+AG2=GH2 即 2AG2=GH2 ， ∴GH= 2 AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴ EG−DG=2AG ．

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