题目

已知函数 ． （1） 当 时，求函数 的单调区间和极值； （2） 若 在 上是单调增函数，求实数a的取值范围． 答案： 解：易知，函数 f(x) 的定义域为 (0，+∞) ．当 a=−2 时， f′(x)=2x−2x=2(x+1)(x−1)x ．当x变化时， f′(x) 和 f(x) 的值的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）－0＋递减极小值递增由上表可知，函数 f(x) 的单调递减区间是（0，1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是 f(1)=1 解：由 g(x)=x2+alnx+2x ，得 g′(x)=2x+ax−2x2 ．若函数 g(x) 为 [1，+∞) 上的单调增函数，则 g′(x)≥0 在 [1，+∞) 上恒成立，即不等式 2x−2x2+ax≥0 在 [1，+∞) 上恒成立．也即 a≥2x−2x2 在 [1，+∞) 上恒成立．令 φ(x)=2x−2x2 ，则 φ′(x)=−2x2−4x ．当 x∈[1，+∞) 时， φ′(x)=−2x2−4x<0 ，φ′(x)=−2x2−4x 在 [1，+∞) 上为减函数，∴φ(x)max=φ(1)=0 ．所以 a≥0 ． ∴a 的取值范围为 [0，+∞)

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