题目

质量不计的直角形支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B。支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，取此时OA所在水平面为零势能面，现将小球A由静止释放，求： （1） 小球A到达最低点时，整个系统的总机械能E；， （2） 小球A到达最低点时的速度大小 vA ， ； （3） 当OA直角边与水平方向的夹角 为多大时，小球A的速度达到最大？并求出小球A的最大速度v。 答案： 解：由题意得，小球A到达最低点的过程中，整个系统的总机械能守恒，则 EP=EP初=−3mgL 解：小球A到达最低点时，根据系统机械能守恒可知 2mg⋅2L=3mg⋅L+12⋅2mvA2+12⋅3mvB2 由题意得，两球的角速度相同，则其线速度之比为vA ：vB = 2∶1 解得 vA=22gL11 解：当OA直角边与水平方向的夹角为 θ 时，由系统机械能守恒可知 2mg⋅2L⋅sinθ=3mg⋅L(1−cosθ)+12⋅2mvA2+12⋅3mvB2 解得 vA2=811gL(4sinθ+3cosθ)−2411gL 根据数学知识可知，当 θ=53∘ 时， 4sinθ+3cosθ 有最大值为 4sinθ+3cosθ=5 此时小球A 的最大值为 v=4gL11

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