题目

已知函数 .（a为实常数） （1） 讨论函数 的奇偶性，并说明理由； （2） 当 为奇函数时，对任意 ，不等式 恒成立，求实数u的最大值. 答案： 当 a=32 时 f(x)+f(−x)=2a−32x+1−32−x+1=2a−3=0 ， 即 f(−x)=−f(x) ；故此时函数 f(x) 是奇函数； 因当 a≠32 时， f(1)=a−1,f(−1)=a−2 ，故 f(−1)≠f(1) ，且 f(−1)≠−f(1) 于是此时函数 f(x) 既不是偶函数，也不是奇函数 因 f(x) 是奇函数，故由（1）知 a=32 ，从而 f(x)=32−32x+1 ； 由不等式 f(x)≥u2x ，得 u≤32⋅2x−3⋅2x2x+1 ， 令 2x+1=t∈[3,65]( 因 x∈[1,6]) ，故 u≤32(t−1)−3(t−1)t=32(t+2t)−92 由于函数 φ(t)=32(t+2t)−92 在 [3,65] 单调递增，所以 φ(t)min=φ(3)=1 ； 因此，当不等式 f(x)≥u2x 在 x∈[1,6] 上恒成立时， umax=1.

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