题目

如图1， ，在 、 内有一条折线 . （1） 求证： ； （2） 如图2，已知 的平分线与 的平分线相交于点Q，且 ， ，直接写出 与 的度数； （3） 如图3，已知 ， ，则 与 有什么关系，请说明理由. 答案： 证明：过P点作 PG//AB ∵ PG//AB ， ∴ ∠EPG=∠AEP ， ∵ AB//CD ， ∴ PG//CD ， ∴ ∠FPG=∠CFP ， ∵ ∠AEP+∠CFP=∠EPG+∠FPG=∠EPF 解： ∵ ∠BEP=150° ， ∠DFP=120° ∴ ∠AEP=180°−∠BEP=30° ， ∠CFP=180°−∠DFP=60° 由（1）可知 ∠AEP+∠CFP=∠EPF ， ∴∠EPF=∠AEP+∠CFP=90° ∵ EQ，FQ 分别为 ∠BEP ， ∠DFP 的角平分线 ∴∠PEQ=12∠BEP=75° ∠PFQ=12∠DFP=60° ∴∠EQF=360°−∠PEQ−∠PFQ−∠EPF =360°−75°−60°−90°=135° ∴ ∠EPF=90°  ， ∠EQF=135° 解：由（1）可得： ∠P=∠AEP+∠CFP ， ∠Q=∠BEQ+∠DFQ ∵ ∠BEQ=13∠BEP ， ∠DFQ=13∠DFP ∴ ∠AEP+∠BEP=∠AEP+3∠BEQ=180° ∠CFP+∠DFP=∠CFP+3∠DFQ=180° ∴ ∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP =∠AEP+3∠BEQ+∠CFP+3∠DFQ =∠AEP+∠CFP+3(∠BEQ+∠DFQ) =∠P+3∠Q=360° .

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