题目

如图，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 的中点， ， ， ． （1） 在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，试确定点 的位置并证明，若不存在，请说明理由； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值． 答案： 存在． 当 M 为 AC 中点时， DM// 平面 ABF ． 证明：∵ D，  M 分别为 BC ， AC 中点，∴ DM//AB ， 又∵ DM⊄ 平面 ABF ， AB⊂ 平面 ABF ， ∴ DM// 平面 ABF ． 如图，过 A 作 AN⊥AB 交 BC 于点 N ， ∵ ∠ABC=30° ， AB=AC=4 ， ∴ ∠CAB=120° ， ∵平面 ABC⊥ 平面 ABEF 且平面 ABC∩ 平面 ABEF=AB ， 又四边形 ABEF 为矩形， ∴ AF⊥AB，   则 AF⊥ 平面 ABC ， 则 AF ， AN ， AB 垂直，以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． ∵ AB=AC=4 ， AF=2 ． ∴ A(0，0，0) ， E(0，4，2) ， B(0，4，0) ， C(23，−2，0) ， 因为D为B，C的中点，所以 D(3，1， 0) ， CE→=(−23，6，2) ， AD→=(3，1，0) ， AF→=(0，0，2) ， 设平面 ADF 的法向量为 n→=(x，  y，  z) ， {n⇀⋅AD⇀=0，n⇀⋅AF⇀=0， ，即 {3x+1y=0，2z=0 ∴ n→=(1，−3，0) ． 设直线 CE 与平面 ADF 所成角为 θ ， 则 |sinθ|=|cos〈CE，→  n→〉|=|CE→ · n→||CE→| · |n→|=|−23−63|2 · 52=23913 ， 又∵线面角的范围是 [0，π2] ， ∴直线 CE 与平面 ADF 所成角正弦值为 23913 ．

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